九章算术・卷四

○少广（以御积幂方圆） 少广 〔淳风等按：一亩之田，广一步，长二百四十步。今欲截取其从少，以益其 广，故曰少广。〕 术曰：置全步及分母子，以最下分母遍乘诸分子及全步， 〔淳风等按：以分母乘全步者，通其分也；以母乘子者，齐其子也。〕 各以其母除其子，置之于左，命通分者，又以分母遍乘诸分子及已通者，皆 通而同之。并之为法。

〔淳风等按：诸子悉通，故可并之为法。亦宜用合分术，列数尤多，若用乘 则算数至繁，故别制此术，从省约。〕 置所求步数，以全步积分乘之为实。

〔此以田广为法，以亩积步为实。法有分者，当同其母，齐其子，以同乘法 实，而并齐于法。今以分母乘全步及子，子如母而一，并以并全法，则法实俱长， 意亦等也。故如法而一，得从步数。〕 实如法而一，得从步。

今有田广一步半。求田一亩，问从几何？答曰：一百六十步。

术曰：下有半，是二分之一。以一为二，半为一，并之，得三，为法。置田 二百四十步，亦以一为二乘之，为实。实如法得从步。

今有田广一步半、三分步之一。求田一亩，问从几何？答曰：一百三十步一 十一分步之一十。

术曰：下有三分，以一为六，半为三，三分之一为二，并之，得一十一，为 法。置田二百四十步，亦以一为六乘之，为实。实如法得从步。

今有田广一步半、三分步之一、四分步之一。求田一亩，问从几何？答曰： 一百一十五步五分步之一。

术曰：下有四分，以一为一十二，半为六，三分之一为四，四分之一为三， 并之，得二十五，以为法。置田二百四十步，亦以一为一十二乘之，为实。实如 法而一，得从步。

今有田广一步半、三分步之一、四分步之一、五分步之一。求田一亩，问从 几何？答曰：一百五步一百三十七分步之一十五。

术曰：下有五分，以一为六十，半为三十，三分之一为二十，四分之一为一 十五，五分之一为一十二，并之，得一百三十七，以为法。置田二百四十步，亦 以一为六十乘之，为实。实如法得从步。

今有田广一步半、三分步之一、四分步之一、五分步之一、六分步之一。求 田一亩，问从几何？答曰：九十七步四十九分步之四十七。

术曰：下有六分，以一为一百二十，半为六十，三分之一为四十，四分之一 为三十，五分之一为二十四，六分之一为二十，并之，得二百九十四，以为法。

置田二百四十步，亦以一为一百二十乘之，为实。实如法得从步。

今有田广一步半、三分步之一、四分步之一、五分步之一、六分步之一、七 分步之一。求田一亩，问从几何？答曰：九十二步一百二十一分步之六十八。

术曰：下有七分，以一为四百二十，半为二百一十，三分之一为一百四十， 四分之一为一百五，五分之一为八十四，六分之一为七十，七分之一为六十，并 之，得一千八十九，以为法。置田二百四十步，亦以一为四百二十乘之，为实。

实如法得从步。

今有田广一步半、三分步之一、四分步之一、五分步之一、六分步之一、七 分步之一、八分步之一。求田一亩，问从几何？答曰：八十八步七百六十一分步 之二百三十二。

术曰：下有八分，以一为八百四十，半为四百二十，三分之一为二百八十， 四分之一为二百一十，五分之一为一百六十八，六分之一为一百四十，七分之一 为一百二十，八分之一为一百五，并之，得二千二百八十三，以为法。置田二百 四十步，亦以一为八百四十乘之，为实。实如法得从步。

今有田广一步半、三分步之一、四分步之一、五分步之一、六分步之一、七 分步之一、八分步之一、九分步之一。求田一亩，问从几何？答曰：八十四步七 千一百二十九分步之五千九百六十四。

术曰：下有九分，以一为二千五百二十，半为一千二百六十，三分之一为八 百四十，四分之一为六百三十，五分之一为五百四，六分之一为四百二十，七分 之一为三百六十，八分之一为三百一十五，九分之一为二百八十，并之，得七千 一百二十九，以为法。置田二百四十步，亦以一为二千五百二十乘之，为实。实 如法得从步。

今有田广一步半、三分步之一、四分步之一、五分步之一、六分步之一、七 分步之一、八分步之一、九分步之一、十分步之一。求田一亩、问从几何？答曰： 八十一步七千三百八十一分步之六千九百三十九。

术曰：下有一十分，以一为二千五百二十，半为一千二百六十，三分之一为 八百四十，四分之一为六百三十，五分之一为五百四，六分之一为四百二十，七 分之一为三百六十，八分之一为三百一十五，九分之一为二百八十，十分之一为 二百五十二，并之，得七千三百八十一，以为法。置田二百四十步，亦以一为二 千五百二十乘之，为实。实如法得从步。

今有田广一步半、三分步之一、四分之步一、五分步之一、六分步之一、七 分步之一、八分步之一、九分步之一、十分步之一、十一分步之一。求田一亩， 问从几何？答曰：七十九步八万三千七百一十一分步之三万九千六百三十一。

术曰：下有一十一分，以一为二万七千七百二十，半为一万三千八百六十， 三分之一为九千二百四十，四分之一为六千九百三十，五分之一为五千五百四十 四，六分之一为四千六百二十，七分之一为三千九百六十，八分之一为三千四百 六十五，九分之一为三千八十，一十分之一为二千七百七十二，一十一分之一为 二千五百二十，并之，得八万三千七百一十一，以为法。置田二百四十步，亦以 一为二万七千七百二十乘之，为实。实如法得从步。

今有田广一步半、三分步之一、四分步之一，五分步之一、六分步之一、七 分步之一、八分步之一、九分步之一、十分步之一、十一分步之一、十二分步之 一。求田一亩，问从几何？答曰：七十七步八万六千二十一分步之二万九千一百 八十三。

术曰：下有一十二分，以一为八万三千一百六十，半为四万一千五百八十， 三分之一为二万七千七百二十，四分之一为二万七百九十，五分之一为一万六千 六百三十二，六分之一为一万三千八百六十，七分之一为一万一千八百八十，八 分之一为一万三百九十五，九分之一为九千二百四十，一十分之一为八千三百一 十六，十一分之一为七千五百六十，十二分之一为六千九百三十，并之，得二十 五万八千六十三，以为法。置田二百四十步，亦以一为八万三千一百六十乘之， 为实。实如法得从步。

〔淳风等按：凡为术之意，约省为善。宜云“下有一十二分，以一为二万七 千七百二十，半为一万三千八百六十，三分之一为九千二百四十，四分之一为六 千九百三十，五分之一为五千五百四十四，六分之一为四千六百二十，七分之一 为三千九百六十，八分之一为三千四百六十五，九分之一为三千八十，十分之一 为二千七百七十二，十一分之一为二千五百二十，十二分之一为二千三百一十， 并之，得八万六千二十一，以为法。置田二百四十步，亦以一为二万七千七百二 十乘之，以为实。实如法得从步。”其术亦得知，不繁也。〕 今有积五万五千二百二十五步，问为方几何？答曰：二百三十五步。

又有积二万五千二百八十一步，问为方几何？答曰：一百五十九步。

又有积七万一千八百二十四步，问为方几何？答曰：二百六十八步。

又有积五十六万四千七百五十二步四分步之一，问为方几何？答曰：七百五 十一步半。

又有积三十九亿七千二百一十五万六百二十五步，问为方几何？答曰：六万 三千二十五步。

○开方 〔求方幂之一面也。〕 术曰：置积为实。借一算，步之，超一等。

〔言百之面十也。言万之面百也。〕 议所得，以一乘所借一算为法，而以除。

〔先得黄甲之面，上下相命，是自乘而除也。〕 除已，倍法为定法。

〔倍之者，豫张两面朱幂定袤，以待复除，故曰定法。〕 其复除，折法而下。

〔欲除朱幂者，本当副置所得成方，倍之为定法，以折、议、乘，而以除。

如是当复步之而止，乃得相命。故使就上折下。〕 复置借算，步之如初。以复议一乘之， 〔欲除朱幂之角黄乙之幂，其意如初之所得也。〕 所得副以加定法，以除。以所得副从定法。

〔再以黄乙之面加定法者，是则张两青幂之袤。〕 复除，折下如前。若开之不尽者，为不可开，当以面命之。

〔术或有以借算加定法而命分者，虽粗相近，不可用也。凡开积为方，方之 自乘当还复有积分。令不加借算而命分，则常微少；其加借算而命分，则又微多。

其数不可得而定。故惟以面命之，为不失耳。譬犹以三除十，以其余为三分之一， 而复其数可以举。不以面命之，加定法如前，求其微数。微数无名者以为分子， 其一退以十为母，其再退以百为母。退之弥下，其分弥细，则朱幂虽有所弃之数， 不足言之也。〕 若实有分者，通分内子为定实，乃开之。讫，开其母，报除。

〔淳风等按：分母可开者，并通之积先合二母。既开之后，一母尚存，故开 分母，求一母为法，以报除也。〕 若母不可开者，又以母乘定实，乃开之。讫，令如母而一。

〔淳风等按：分母不可开者，本一母也。又以母乘之，乃合二母。既开之后， 亦一母存焉，故令一母而一，得全面也。

又按：此术“开方”者，求方幂之面也。借一算者，假借一算，空有列位之 名，而无除积之实。方隅得面，是故借算列之于下。“步之超一等”者，方十自 乘，其积有百，方百自乘，其积有万，故超位，至百而言十，至万而言百。“议 所得，以一乘所借算为法，而以除”者，先得黄甲之面，以方为积者两相乘，故 开方除之，还令两面上下相命，是自乘而除之。“除已，倍法为定法”者，实积 未尽，当复更除，故豫张两面朱幂袤，以待复除，故曰定法。“其复除，折法而 下”者，欲除朱幂，本当副置所得成方，倍之为定法，以折、议、乘之，而以除， 如是，当复步之而止，乃得相命。故使就上折之而下。“复置借算，步之如初， 以复议一乘之，所得副以加定法，以定法除”者。欲除朱幂之角黄乙之幂。“以 所得副从定法”者，再以黄乙之面加定法，是则张两青幂之袤，故如前开之，即 合所问。〕 今有积一千五百一十八步四分步之三。问为圆周几何？答曰：一百三十五步。

〔于徽术，当周一百三十八步一十分步之一。

淳风等按：此依密率，为周一百三十八步五十分步之九。〕 又有积三百步，问为圆周几何？答曰：六十步。

〔于徽术，当周六十一步五十分步之十九。

淳风等按：依密率，为周六十一步一百分步之四十一。〕 开圆术曰：置积步数，以十二乘之，以开方除之，即得周。

〔此术以周三径一为率，与旧圆田术相返覆也。于徽术，以三百一十四乘积， 如二十五而一，所得，开方除之，即周也。开方除之，即径。是为据见幂以求周， 犹失之于微少。其以二百乘积，一百五十七而一，开方除之，即径，犹失之于微 多。

淳风等按：此注于徽术求周之法，其中不用“开方除之，即径”六字，今 本有者，衍剩也。依密率，八十八乘之，七而一。按周三径一之率，假令周六径 二，半周半径相乘得幂三，周六自乘得三十六。俱以等数除幂，得一周之数十二 也。其积：本周自乘，合以一乘之，十二而一，得积三也。术为一乘不长，故以 十二而一，得此积。今还原，置此积三，以十二乘之者，复其本周自乘之数。凡 物自乘，开方除之，复其本数，故开方除之，即周。〕 今有积一百八十六万八百六十七尺， 〔此尺谓立方尺也。凡物有高、深而言积者，曰立方。〕 问为立方几何？答曰：一百二十三尺。

又有积一千九百五十三尺八分尺之一，问为立方几何？答曰：一十二尺半。

又有积六万三千四百一尺五百一十二分尺之四百四十七，问为立方几何？答 曰：三十九尺八分尺之七。

又有积一百九十三万七千五百四十一尺二十七分尺之一十七，问为立方几何？ 答曰：一百二十四尺太半尺。

开立方 〔立方适等，求其一面也。〕 术曰：置积为实。借一算，步之，超二等。

〔言千之面十，言百万之面百。〕 议所得，以再乘所借一算为法，而除之。

〔再乘者，亦求为方幂。以上议命而除之，则立方等也。〕 除已，三之为定法。

〔为当复除，故豫张三面，以定方幂为定法也。〕 复除，折而下。

〔复除者，三面方幂以皆自乘之数，须得折、议，定其厚薄尔。开平幂者， 方百之面十；开立幂者，方千之面十。据定法已有成方之幂，故复除当以千为百， 折下一等也。〕 以三乘所得数，置中行。

〔设三廉之定长。〕 复借一算，置下行。

〔欲以为隅方。立方等未有定数，且置一算定其位。〕 步之，中超一，下超二等。

〔上方法，长自乘而一折，中廉法，但有长，故降一等；下隅法，无面长， 故又降一等也。〕 复置议，以一乘中， 〔为三廉备幂也。〕 再乘下， 〔令隅自乘，为方幂也。〕 皆副以加定法。以定法除。

〔三面、三廉、一隅皆已有幂，以上议命之而除，去三幂之厚也。〕 除已，倍下，并中，从定法。

〔凡再以中、三以下，加定法者，三廉各当以两面之幂连于两方之面，一隅 连于三廉之端，以待复除也。言不尽意，解此要当以棋，乃得明耳。〕 复除，折下如前。开之不尽者，亦为不可开。

〔术亦有以定法命分者，不如故幂开方，以微数为分也。〕 若积有分者，通分内子为定实。定实乃开之。讫，开其母以报除。

〔淳风等按：分母可开者，并通之积先合三母。既开之后一母尚存，故开分 母，求一母，为法，以报除也。〕 若母不可开者，又以母再乘定实，乃开之。讫，令如母而一。

〔淳风等按：分母不可开者，本一母也。又以母再乘之，令合三母。既开之 后，一母犹存，故令一母而一，得全面也。

按：“开立方”知，立方适等，求其一面之数。“借一算，步之，超二等” 者，但立方求积，方再自乘，就积开之，故超二等，言千之面十，言百万之面百。

“议所得，以再乘所借算为法，而以除”知，求为方幂，以议命之而除，则立方 等也。“除已，三之为定法”，为积未尽，当复更除，故豫张三面已定方幂为定 法。“复除，折而下”知，三面方幂皆已有自乘之数，须得折、议定其厚薄。据 开平方，百之面十，其开立方，即千之面十。而定法已有成方之幂，故复除之者， 当以千为百，折下一等。“以三乘所得数，置中行”者，设三廉之定长。“复借 一算，置下行”者，欲以为隅方，立方等未有数，且置一算定其位也。“步之， 中超一，下超二”者，上方法长自乘而一折，中廉法但有长，故降一等，下隅法 无面长，故又降一等。“复置议，以一乘中”者，为三廉备幂。“再乘下”，当 令隅自乘为方幂。“皆副以加定法，以定法除者，三面、三廉、一隅皆已有幂， 以上议命之而除，去三幂之厚。“除已，倍下、并中，从定法”者，三廉各当以 两面之幂连于两方之面，一隅连于三廉之端，以待复除。其开之不尽者，折下如 前，开方，即合所问。“有分者，通分内子开之。讫，开其母以报除”，“可开 者，并通之积，先合三母；既开之后，一母尚存，故开分母”者，“求一母为法， 以报除。”“若母不可开者，又以母再乘定实，乃开之。讫，令如母而一”，分 母不可开者，本一母，又以母再乘，令合三母，既开之后，亦一母尚存。故令如 母而一，得全面也。〕 今有积四千五百尺。

〔亦谓立方之尺也。〕 问为立圆径几何？答曰：二十尺。

〔依密率，立圆径二十尺，计积四千一百九十尺二十一分尺之一十。〕 又有积一万六千四百四十八亿六千六百四十三万七千五百尺。问为立圆径几 何？答曰：一万四千三百尺。

〔依密率，为径一万四千六百四十三尺四分尺之三。〕 开立圆术曰：置积尺数，以十六乘之，九而一，所得，开立方除之，即立 圆径。

〔立圆，即丸也。为术者，盖依周三径一之率。令圆幂居方幂四分之三，圆 囷居立方亦四分之三。更令圆囷为方率十二，为丸率九，丸居圆囷又四分之三也。

置四分自乘得十六，三分自乘得九，故丸居立方十六分之九也。故以十六乘积， 九而一，得立方之积。丸径与立方等，故开立方而除，得径也。然此意非也。何 以验之？取立方棋八枚，皆令立方一寸，积之为立方二寸。规之为圆囷，径二寸， 高二寸。又复横因之，则其形有似牟合方盖矣。八棋皆似陽马，圆然也。按：合 盖者，方率也，丸居其中，即圆率也。推此言之，谓夫圆囷为方率，岂不阙哉？ 以周三径一为圆率，则圆幂伤少；令圆囷为方率，则丸积伤多，互相通补，是以 九与十六之率偶与实相近，而丸犹伤多耳。观立方之内，合盖之外，虽衰杀有渐， 而多少不掩。判合总结，方圆相缠，浓纤诡互，不可等正。欲陋形措意，惧失正 理。敢不阙疑，以俟能言者。

黄金方寸，重十六两；金丸径寸，重九两，率生于此，未曾验也。《周官· 考工记》：“朅氏为量，改煎金锡则不耗，不耗然后权之，权之然后准之，准之 然后量之。”言炼金使极精，而后分之则可以为率也。令丸径自乘，三而一，开 方除之，即丸中之立方也。假令丸中立方五尺，五尺为句，句自乘幂二十五尺。

倍之得五十尺，以为弦幂，谓平面方五尺之弦也。以此弦为股，亦以五尺为句， 并句股幂得七十五尺，是为大弦幂。开方除之，则大弦可知也。大弦则中立方之 长邪，邪即丸径。故中立方自乘之幂于丸径自乘之幂，三分之一也。今大弦还乘 其幂，即丸外立方之积也。大弦幂开之不尽，令其幂七十五再自乘之，为面，命 得外立方积，四十二万一千八百七十五尺之面。又令中立方五尺自乘，又以方乘 之，得积一百二十五尺，一百二十五尺自乘，为面，命得积，一万五千六百二十 五尺之面。皆以六百二十五约之，外立方积，六百七十五尺之面，中立方积，二 十五尺之面也。

张衡算又谓立方为质，立圆为浑。衡言质之与中外之浑：六百七十五尺之面， 开方除之，不足一，谓外浑积二十六也；内浑，二十五之面，谓积五尺也。今徽 令质言中浑，浑又言质，则二质相与之率犹衡二浑相与之率也。衡盖亦先二质之 率推以言浑之率也。衡又言：“质，六十四之面；浑，二十五之面。”质复言浑， 谓居质八分之五也。又云：方，八之面；圆，五之面。”圆浑相推，知其复以圆 囷为方率，浑为圆率也，失之远矣。衡说之自然欲协其陰陽奇偶之说而不顾疏密 矣。虽有文辞，斯乱道破义，病也。置外质积二十六，以九乘之，十六而一，得 积十四尺八分尺之五，即质中之浑也。以分母乘全内子，得一百一十七。又置内 质积五，以分母乘之，得四十，是谓质居浑一百一十七分之四十，而浑率犹为伤 多也。假令方二尺，方四面，并得八尺也，谓之方周。其中令圆径与方等，亦二 尺也。圆半径以乘圆周之半，即圆幂也。半方以乘方周之半，即方幂也。然则方 周知，方幂之率也；圆周知，圆幂之率也。按：如衡术，方周率八之面，圆周率 五之面也。令方周六十四尺之面，圆周四十尺之面也。又令径二尺自乘，得径四 尺之面，是为圆周率十之面，而径率一之面也。衡亦以周三径一之率为非，是故 更著此法，然增周太多，过其实矣。

淳风等按：祖暅之谓刘徽、张衡二人皆以圆囷为方率，丸为圆率，乃设新 法。祖暅之开立圆术曰：“以二乘积，开立方除之，即立圆径。其意何也？取 立方棋一枚，令立枢于左后之下隅，从规去其右上之廉；又合而衡规之，去其前 上之廉。于是立方之棋分而为四，规内棋一，谓之内棋；规外棋三，谓之外棋。

规更合四棋，复横断之。以句股言之，令余高为句，内棋断上方为股，本方之数， 其弦也。句股之法：以句幂减弦幂，则余为股幂。若令余高自乘，减本方之幂， 余即内棋断上方之幂也。本方之幂即此四棋之断上幂。然则余高自乘，即外三棋 之断上幂矣。不问高卑，势皆然也。然固有所归同而途殊者尔。而乃控远以演类， 借况以析微。按：陽马方高数参等者，倒而立之，横截去上，则高自乘与断上幂 数亦等焉。夫叠棋成立积，缘幂势既同，则积不容异。由此观之，规之外三棋旁 蹙为一，即一陽马也。三分立方，则陽马居一，内棋居二可知矣。合八小方成一 大方，合八内棋成一合盖。内棋居小方三分之二，则合盖居立方亦三分之二，较 然验矣。置三分之二，以圆幂率三乘之，如方幂率四而一，约而定之，以为丸率。

故曰丸居立方二分之一也。”等数既密，心亦昭晢。张衡放旧，贻哂于后，刘徽 循故，未暇校新。夫岂难哉，抑未之思也。依密率，此立圆积，本以圆径再自乘， 十一乘之，二十一而一，得此积。今欲求其本积，故以二十一乘之，十一而一。

凡物再自乘，开立方除之，复其本数。故立方除之，即丸径也。〕